Kurvendiskussion

Unter der Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Bestimmung der Eigenschaften einer Funktion. Dazu zählen üblicherweise folgende Untersuchungen: Definitionsmenge, Nullstellen,
Schnittpunkte mit der Y-Achse, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen, Extrempunkte, Wendepunkte, Graph, Monotonie, Krümmungsverhalten und die Wertemenge.

Im folgenden Beitrag werden wir an einem Beispiel eine vollständige Kurvendiskussion durchführen und anhand eines Beispiels die Methodik erklären. Das Beispiel soll folgende Funktion sein:

    \[y = x^4 -x^3-3x^2+5x -2\]

Die Definitionsmenge

Die Definitionsmenge gibt an, welche Werte (Zahlen) man in die Funktion (für das x) einsetzen darf. Alle diese Zahlen, die man für x einsetzen darf, sind dann die Definitionsmenge.

Den Definitionsbereich einer Funktion oder eines Terms bestimmt man, indem man untersucht, ob einzelne Teile des (Funktions)terms für bestimmte Zahlenbereiche nicht definiert sind. Zahlen aus diesen Bereichen muss man aus der Definitionsmenge herausnehmen.

In unserem Beispiel finden wir keine Einschränkungen, somit kann die Definitionsmenge wie folgt angegeben werden:

    \[\mathbb{D} = \{ -\infty < x < +\infty \}\]

Bestimmung der Nullstellen

Die Nullstellen einer Funktion f(x) sind die Stellen an denen f(x)=0 gilt. Oder geometrisch gesehen die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f(x) mit der x-Achse.

D.h. man bestimmt die Nullstellen einer Funktion dadurch das man sie gleich Null setzt und durch verschiedenste Verfahren, dann die x-Werte bestimmt, an denen die Bedingung erfüllt ist. Mögliche Verfahren sind hier die Mitternachtsformel, das Horner-Schema oder auch die Linearfaktor-Zerlegung. Manchmal muss man einfach auch mal durch systematisches Probieren eine erste Nullstelle ermitteln, um dann weiter zu rechnen.

In unserem Beispiel kann man wie folgt vorgehen:

1. Nullstelle durch Probieren:

    \[1^4-1^3-3*1^2++5*1^1-2 = 0  \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1\]

2. Nullstelle: Linerafaktor-Abspaltung über das Horner-Schema

Daraus ergibt sich dann folgende Darstellung:

    \[(x-1)^3 (x+2)\]

Somit erhalten wir eine dreifache Nullstelle

    \[x_1 = x_2 = x_3 = 1 \quad und \quad  x_4 = -2\]

Schnittpunkte mit der Y-Achse

Die Schnittstelle mit der yAchse ist der Punkt wo der Graph die yAchse schneidet. Der x-Wert, an dem die Funktion die yAchse schneidet, ist immer null. Daher lässt sich der y-Wert genau dadurch bestimmen, in dem der Wert x=0 in die Funktionsgleichung eingesetzt wird. Bitte nicht mit der Bestimmung der Nullstelle verwechseln, wo der Wert y=0 gesetzt wird.

In unserem Beispiel setzten wir also x=0 in f ein und bestimmen somit f(0):

    \[f(0) = -2\]

Symetrie

Man unterscheidet zwei Arten von Symmetrie: Punktsymmetrie und Achsensymmetrie. Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn es irgendeinen Punkt gibt, an dem man die Funktion derart spiegeln kann, dass als Spiegelbild wieder die gleiche Funktion rauskommt.

Eine Funktion ist dagegen achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade [also eine Achse] gibt, an der man die Funktion derart spiegeln kann, dass als Spiegelbild wieder die gleiche Funktion rauskommt.

Um herauszufinden ob eine Funktion symmetrisch ist gibt es zwei Formeln:

Wenn f(-x) = f(x) gilt, liegt eine Achsensymmetrie zur Y-Achse vor.
Wenn f(-x) = -f(x) gilt, liegt eine Punktsymetrie zum Ursprung vor.

Es gibt allerdings auch bei der Symmetrie-Untersuchung ganzrationalen Funktionen einen Trick. Bei dieser Art von Funktionen schaut man sich nur die Hochzahlen der Variablen an.

Gibt es nur gerade Hochzahlen, ist f(x) symmetrisch zur y-Achse.
Beispiele: f(x) = 2x6–3x4–5                   

Gibt es nur ungerade Hochzahlen, ist f(x) symmetrisch zum Ursprung.
Beispiele: f(x) = 2x5+12x3–2x                 f(x) = 2x-1+x-3–3²x-5+ x³–4x

Gibt es gemischte Hochzahlen, ist f(x) nicht symmetrisch.
Beispiele: f(x) = x3+2x2–3x+4                  f(x) = 2x·(x³+6x²+9x)

In unserem Beispiel handelt es sich um Polynom mit gemischten Hochzahlen, woraus wir ableiten können, dass keine Symmetrie vorliegt.

Verhalten im Unendlichen

Bei dieser Untersuchung prüft man wie sich die Funktion verhält, wenn die X-Werte gegen plus oder minus Unendlich gehen. Dabei kommt es immer auf den Faktor mit der größten Hochzahl an, da dieser das Verhalten am stärksten beeinflusst.

In unserem Beispiel wäre das der Faktor x^4. Möchte man nun wissen, wie das Verhalten im Unendlichen aussieht, setzt man gedanklich eine gang große negative und eine positive Zahl ein und erkennt, dass durch die geradzahlige Hochzahl in beiden Fällen f(x) \to +\infty strebt.

Extremwerte

Die Bestimmung der Extremwerte gehört zu den wichtigsten Untersuchungen. Als Extremwerte werden die Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte einer Funktion bezeichnet. Die Berechnung erfolgt immer nach dem geglichen Schema:

  • Ist f'(x) = 0 so liegt ein Extremwert xe vor.
    um was für einen Extremwert es sich handelt ergibt die zweite Ableitung:
  • Ist f“(xe) < 0 liegt ein Hochpunkt vor.
  • Ist f“(xe) > 0 liegt ein Tiefpunkt vor.
  • Ist f“(xe) = 0 steht Überprüfung für Sattelpunkt / Wendepunkt an.

Um also die Extremwerte zu bestimmen, müssen die Ableitungen berechnet werden:

    \[f(x) = x^4 -x^3-3x^2+5x -2\]

    \[f'(x) = 4x^3-3x^2-6x+5\]

    \[f''(x) = 12x^2 - 6x -6\]

Dann müssen die Nullstellen der ersten Ableitung berechnet werden: x_1 = x_2 = 1 und \quad x_3=-5/4 = -1,25

In dem diese x-Werte in die zweiten Ableitungen eingesetzt werden erhält man:

    \[f''(1) = 0 \quad und  \quad   f''(-1.25) = 20,25\]

Somit haben wir bei x=-1.25 einen Tiefpunkt und am Punkt x=1 steht eine weitere Untersuchung auf mögliche Wendepunkte an.

    \[TP = (f(-1,25);-1,25) \quad = ( -8,54;-1,25)\]

Wendepunkte

Ein Wendepunkt einer Funktion ist der Punkt, an dem der Funktionsgraph sein Krümmungsverhalten verändert. D.h. an diesem Punkt wechselt der Graph entweder von einer Rechts- in eine Linkskurve oder anders herum. Ein Wendepunkt liegt vor, wenn gilt: f’’(x) = 0 und f’’’(x) ≠ 0.

In unserem Beispiel müssen wir die Nullstellen der 2. Ableitung bestimmen, und benötigen wir noch die 3. Ableitung von f(x) um herauszufinden on ein Wendepunkt vorliegt.

    \[f''(x) = 12x^2 - 6x -6 = 0  \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1 und  \quad x_2 = -0,5\]

    \[f'''(x) = 24x-6\]

Somit haben wir für f'''(1) = 18 und f'''(-0,5) = -18 woraus wir erkennen, dass an beiden Punkten ein Wendepunkt vorliegt.

    \[WP_1 = (f(-0,5);-0,5) = (-5,06 ; -0,5) \qquad WP_2=(f(1);1) = (0;1)\]

Der Graph der Funktion zeichnen

Der Graph der Funktion sieht dann wie folgt aus:

Monotonie Verhalten

Das Monotonieverhalten einer Funktion gibt an, in welchem Bereich der Graph der Funktion steigt oder fällt. Daher ist das Monotonieverhalten wie folgt definiert: Die Funktion f ist streng monoton steigend, wenn f'(x) > 0 gilt. Die Funktion f ist streng monoton fallend, wenn f'(x) < 0 gilt.

Wichtig ist hierbei, dass Monotonie nur für die Teile des Definitionsbereiches betrachtet wird, in dem die Funktion stetig ist. Wo also Unterbrechungen existieren gibt es keine Monotonie.

Krümmungsverhalten

Beim Krümmungsverhalten in der Mathematik untersucht man, ob eine Funktion linksgekrümmt oder rechtsgekrümmt ist. In manchmal Fällen kann eine Funktion beide Krümmungen aufweisen. Die Untersuchung kann über die zweite Ableitung durchgeführt werden.

Bei der Rechtskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x kleiner Null: f“(x) < 0.
Die Rechtskrümmung wird auch als konkav bezeichnet. 

Bei der Linkskrümmung ist die zweite Ableitung an der Stelle x größer als Null: f“(x) > 0.
Die Linkskrümmung wird auch als konvex bezeichnet. 

Funktion und 2. Ableitung

Dazu zeichnet man sich am einfachsten die 2. Ableitung zusammen mit dem Funktionsgraphen in ein Diagramm, um dadurch ablesen zu können, wie sich die Krümmung verhält. Im obigen Beispiel erkennt man, dass die 2. Ableitung zwischen den beiden Nullstellen negativ ist d.h. eine Rechtskrümmung vorliegt, in allen anderen Bereichen dagegen positiv und somit eine Linkskrümmung aufweist.

Wertemenge

Die Wertemenge gibt an, was alles für y, bzw. f(x), rauskommen kann, wenn man jede Zahl aus der Definitionsmenge in die Funktion (für x) eingesetzt hat. 

In unserem Beispiel wäre das

    \[\mathbb{W} = \mathbb{R}\]

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