Linearfaktor-Zerlegung

Einführung

Bei der Linearfaktorzerlegung wird eine Polynom-Funktion die als Normalform geschrieben folgendes Aussehen hat:

$$ f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+ a_1x+a_0$$

In eine äquivalente Form bestehend aus sogenannten Linearfaktoren umgewandelt. Unter Linearfaktoren versteht Terme der Form ( x – Zahl ). Die Zahlen x1, x2, …, xn und nun im code : –x1, Peter x2, …, xn sind dabei interessanterweise die Nullstellen des Polynoms. Wenn ein Rest übrig bleibt (Restglied) ist das der Teil der Funktion, der keine Nullstellen mehr besitzt.

$$ f(x) = a\cdot(x-x_1)(x-x_2)\dots(x-x_n)\cdot Rest $$

Mit Mathematica geht das ganz einfach. Dazu gibt es eine eingebaute Funktion mit dem Namen Factor[]: 


	Factor[x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6]
	(-3 + x) (-2 + x) (-1 + x)

Wenn man aber keinen Computer zur Verfügung hat geht man nach folgendem Schema vor:

Das folgende Beispiel soll dieses Vorgehen erläutern. L

$$ \begin{align} f(x) &= 2x^2 + 3x + 1 \\ f(x) &= 2\cdot(\frac {1}{2}x^2 + \frac {3}{2}x + \frac {1}{2})\\ f(x) &= x^2 + \frac {3}{2}x + \frac {1}{2}\\ p &=\frac {3}{2} \\ q &= \frac {1}{2} \end{align} $$

Der Vorfaktor war im obigen Beispiel 2. Da es sich um eine quadratische Gleichung handelt, wenden wir die Mitternachtsformel an, um die Nullstellen zu bestimmen:

$$ \begin{align} x_{1,2} &= -\frac {p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2 - q}\\[1.1em] x_{1,2} &= -\frac {p}{2} \pm \sqrt{(\frac{3}{2})^2 - \frac {1}{2}}\\[1.1em] x_{1,2} &= -\frac {3}{4} \pm \sqrt{(\frac{9}{16})^2 - \frac {8}{16}}\\[1.1em] x_{1,2} &= -\frac {3}{4} \pm \sqrt{\frac{1}{16}}\\[1.1em] x_{1} &= -\frac {3}{4} + \frac{1}{4} = - \frac{1}{2} \quad \rightarrow (x+0.5)\\[1.1em] x_{2} &= -\frac {3}{4} - \frac{1}{4} = - 1 \quad \rightarrow (x+1)\\[1.1em] f(x) &= 2x^2 + 3x + 1 = 2\cdot ((x+0.5)\cdot (x+1)) \end{align} $$

Mit etwas Unterstützung von Mathematica können wir die Nullstellen, die gerade mit Hilfe der Linearfaktor-Zerlegung berechnet wurden auch graphisch darstellen: 


	Factor[x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6]
	(-3 + x) (-2 + x) (-1 + x)

	Plot[2 x^2 + 3 x + 1, {x, -1.2, -0.3},
	 PlotRange -> {-0.5, 1.5},
	 GridLines -> Automatic,
	 Epilog -> {
	   Red, PointSize[Large],
	   Point[{{-1, 0}, {-0.5, 0}}]
	 }]
Linearfaktooren
Visualisierung der Funktion mit den Linearfaktoren>

Polynomdivision

Die Polynomdivision ist ein mathematisches Verfahren, mit dem man ganzrationale Funktionen (Polynome) in Linearfaktoren zerlegt, um zum Beispiel deren Nullstellen zu bestimmen. Die Polynomdivision funktioniert genauso wie die schriftliche Division — nur werden keine Zahlen, sondern Polynome zum Teilen verwendet. Ein Polynom ist ein algebraischer Term, der sich als Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen darstellt z.B. $x^3-5x^2$.

Als Ergebnis einer Polynomdivision entsteht ein „Ganzteil“-Polynom und evtl. ein Restpolynom. Die Polynomdivision wird verwendet, um Nullstellen von Funktionen zu berechnen, bei denen wir die pq-Formel nicht verwenden können. Mit ihr vereinfachen wir die Funktionen soweit, bis wir die pq-Formel anwenden können.

William George Horner (1786 - 1837) erfand das nach ihm benannte Horner-Schema, um die Berechnung von Polynom-Funktionswerten zu erleichtern. Es kann genutzt werden, um die Polynomdivision sowie die Berechnung von Nullstellen und Ableitungen zu vereinfachen.

Die Linearfaktorzerlegung ist eine Methode, ein Polynom in ein Produkt von linearen Faktoren zu zerlegen. Diese Faktoren sind Terme der Form (x - a), wobei 'a' eine Nullstelle des Polynoms ist. Die Linearfaktorzerlegung ist besonders nützlich, um Nullstellen eines Polynoms zu finden und um Brüche zu vereinfachen. Linearfaktoren können im Zusammenhang mit der Polynomdivision verwendet werden.

Bei Polynomen höherer Ordnung (also n>2) sucht man sich eine der möglichen n-Nullstelle durch systematisches Probieren. Mit dieser Nullstelle hat man dann einen Linearfaktor (x – Zahl), wobei auf das Vorzeichen zu achten ist. Wie das gemacht werden kann, wird am nachfolgenden Beispiel deutlich:

$$ f(x) = -2 x^3 + 20x^2-24x-144 $$

Durch Probieren findet man die Nullste $x_1=-2$. Mit Hilfe dieser Nullstelle kann man das Horner-Schema verwenden, um den Grad des Polynoms zu reduzieren, bis man weitere Nullstellen bestimmen kann:

$$ \begin{align} \frac {f(x)}{x-x_0} &= \frac {a_3x^3 +a_2x^2 + a_1x+ a_0} {x-x_0} \\[1.1em] \frac {f(x)}{x-x_0} &= b_2x^2 + b_1x+b_0 + r(x) \quad mit \\[1.1em] r(x)&= \frac {a_3 x_{0}^3 + a_2x^2_0 + a_1 x_0+ a_0} {x-x_0} = \frac {f(x_0)}{x-x_0} \end{align} $$ $$ \begin{align} -2 x^3 + 20x^2-24x-144 : (x - (-2)) = 2x^2 - 24x +72 \end{align} $$

Über dieses Verfahren erhält man für unsere Beispiel-Funktion, folgendes reduzierte Polynom:

$$ \begin{align} 2x^2 - 24x + 72 &=0 \\ x^2 -12 x + 36 &=0 \\ p&=-12 \\ q &= 36 \end{align} $$

daraus ergeben sich über die Mitternachtsformel die weiteren Nullsten:

$$ \begin{align} x_{2,3} &= -\frac {-12}{2} \pm \sqrt{(\frac{-12}{2})^2 - 36}\\[1.1em] x_{2,3} &= 6 \pm \sqrt{(\frac{144}{4})^2 - 36}\\[1.1em] x_{2,3} &= 6 \pm \sqrt{0} = 6\\ x_{2} &= 6 \\ x_{3} &= 6 \\[1.1em] x_{1} &= -2 \; &\rightarrow (x+2)\\ x_{2} &= 6 \; &\rightarrow (x-6)\\ x_{3} &= 6 \; &\rightarrow (x-6)\\[1.1em] f(x) &= -2\cdot ( (x+2)\cdot (x-6) \cdot (x-6))\\[1em] f(x) &=-2\cdot (x+2)\cdot (x-6)^2 \end{align} $$

Hiebei ist es wichtig die Vorzeichen zu beachten: Linearfaktoren sind definiert als $(x – x_0)$. D.h. eine positive Nullstelle (wie in unserem Beispiel die $x_2 = +6 $ wird als Linearfaktor zu $(x - 6)$ sowie $x_0 =-2$ als Linearfaktor zu $(x + 2)$ wird). Darauf gilt es zu achten. Über den Graf bestätigt sich diese Schreibweise. Einige Zeilen Mathematica helfen bei der Visualisierung:


f[x_] := -2 x^3 + 20 x^2 - 24 x - 144
roots = x /. Solve[f[x] == 0, x]

Plot[f[x], {x, Min[roots] - 2, Max[roots] + 2}, PlotStyle -> Thick,
 	AxesLabel -> {"x", "f(x)"}, PlotRange -> All,
 	Epilog -> {Red, PointSize[Large], Point[{#, f[#]}] & /@ roots,
     Text["Nullstelle", {#, f[#]}, {0, -1}] & /@ roots},
 	GridLines -> Automatic, PlotLabel -> "Plot von f(x) mit Nullstellen"]
Linearfaktooren
Visualisierung der Funktion mit den Linearfaktoren>
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