Rechnen mit physikalischen Einheiten<

Es gibt immer wieder Situationen, wo man physikalische Einheiten umrechnen muss. Dabei sind die gängigsten Einheiten wie Meter in Zentimeter umzurechnen ja noch überschaubar, aber wie rechnet man beispielsweise die Einheit Liter pro Quadrat Sekunde in Kubikmeter pro Stunde um?

Als erstes sollte man sich die grundlegenden physikalischen Einheiten und ihre Größen in Erinnerung rufen. Eine physikalische Größe beschreibt eine messbare Eigenschaft eines Objektes und besteht aus einer Maßzahl und einer Einheit. Alle physikalischen Größen werden immer als Potenzprodukte der 7 Basisgrößen (Länge, Masse, Zeit, elektrische Stromstärke, Temperatur, Stoffmenge und Lichtstärke) dargestellt.

Ein Potenzprodukt einer Größe ist ein Ausdruck, der eine physikalische Größe als ein Produkt von Potenzen anderer physikalischer Größen darstellt, wobei die Potenzen als Exponenten auftreten. Es beschreibt die Beziehung einer abgeleiteten Größe zu den Basisgrößen eines physikalischen Systems. Dieses Potenzprodukt bezeichnet man auch als die Dimension der jeweiligen Größe. Sie darf nicht mit der Einheit der Größe verwechselt werden und ist unabhängig vom Maßsystem.

Um Größen entsprechend umrechnen oder konvertieren zu können, ist neben dem Maßsystem auch gut, wenn man bestimmte weitere Zusammenhänge kennt, die sich nicht zwingend als Potenz-Produkte ableiten lassen. Einige dieser Zusammenhänge sind in der folgenden Tabelle aufgeführt (ohne Anspruch auf Vollständigkeit):

Generalisierung

Bei der Umrechnung von Einheiten ist es wichtig, ausgehend von der Ausgangsgröße und Dimension Schritt für Schritt die entsprechenden Dimensioenen zu bestimmen und einzusetzen. Um beispielsweise 10 km/h in Meter pro sekunde umzurechnen, beginnt man zu identifizieren, welche Größen angepasst werden müssen. In diesem Fall

Damit wird dann aus 10 km/h = 10*1000m/3600s = 50/18 m/s = 2,77 m/s. Nach diesem Grundrezept werden auch komplexere Umrechnungen durchgeführt.

Beispiel 1

Als Beispiel soll folgende Umrechnung dienen: Es sollen nun $ 4,4 \cdot 10^{-6} \frac {l}{s^2}$ umgerechnet werden in die Einheit $ \lbrack \frac{m^3}{h} \rbrack$ . Wie das Schritt für Schritt gemacht werden kann ist nachfolgend aufgeführt:

Im ersten Schritt nutzen wir das Basiswissen und wandeln $m^3$ und Liter in die passenden Einheiten um. Damit erhalten wir:

\begin{equation} \begin{aligned} 1 l &= \frac{1}{1000} m^3 \\ 1 h &= 3600 s \Longrightarrow 1s = \frac{1}{3600} h\\ \end{aligned} \end{equation}

Diese Werte setzen wir nun in den Ausdruck $\frac {l}{s^2}$ ein. Also anstelle von Liter der Wert für $m^3$ und für die Zeit in Sekunden den entsprechenden Umrechnungsfaktor in Stunnden:

\begin{equation} \begin{aligned} \left( 4,4 \cdot 10^{-6} \dfrac {\dfrac{1}{1000} m^3}{(\dfrac{1}{3600})^2 h} \;\right) = \;\left( 4,4 \cdot 10^{-6} \dfrac {3600^2}{1000}\right) \; \lbrack \dfrac{m^3}{h} \rbrack \end{aligned} \end{equation}

Damit sind die geforderten Einheiten $\lbrack \dfrac{m^3}{h} \rbrack$ bestimmt und können wir nun beginnen die Zahlenwerte zu berechnen. Da muss man etwas aufpassen dass man sich nicht vertut. Aber am Ende erhalten wir dann:

\begin{equation} 4,4 \cdot 10^{-6} \cdot \dfrac {12,96\cdot 10^6}{10^3} \; \lbrack \dfrac{m^3}{h} \rbrack \;= \; 57,024 \cdot 10^{-3} \; \lbrack \dfrac{m^3}{h} \rbrack \; = \; 0,057024 \; \lbrack \dfrac{m^3}{h} \rbrack \end{equation}

Ein weiteres Beispiel

Wir haben eine gemessene Geschwindigkeit von 122 cm/min. Gefragt ist welche Geschwindigkeit das umgerechnet in km/h wäre?

Auch hier geht man wieder so vor, dass man die gegebenen Einheiten in Bezug zu den gesuchten Einheiten setzt. Also 1km = 1000 m, 1m = 100 cm damit entspricht 1 km = 1000 * 100 cm = $10^5$ cm oder 1 cm = $10^{-5}$ km.

Analog dazu verfährt man mit der zweiten Größe: 1h = 60 min damit entspricht 1 min = $\frac{1}{60}$ Stunde. Diese Werte werden nun wieder in die Gleichung eingesetzt und die Einheiten entsprechend angepasst (also aus cm werden km und aus min entsprechend Stunden):

\begin{equation} 122 \quad \lbrack \dfrac{cm}{min} \rbrack \; = \left( \; 122 \cdot \dfrac{\frac{1}{10^5}}{\frac{1}{60}} \right) \; \lbrack \dfrac{km}{h} \rbrack \;= \; 122 \cdot \dfrac{60}{10^5} \;= \; \dfrac{7320}{100000} \;= \;0,00732 \; \lbrack \dfrac{km}{h} \rbrack \end{equation}