Seit ich als Student die ersten Berührungspunkte mit Mathematica bekommen habe, fasziniert mich der dadurch aufgespannte Möglichkeitsraum der funktionalen Programmierung. Ursprünglich als Software für symbolische Mathematik gedacht, ist es heute in der Version 12 ein Softwaresystem für alle denkbaren Anwendungsmöglichkeit, weit über die Mathematik oder Physik hinaus.
Die Sprache ist immer noch die selbe wie 1988 in der Version 1 und wurde aber zwischenzeitlich ergänzt und überarbeitet und heisst nun Wolfram Language. Das Handbuch gibt es nur noch elektronisch, da es mehrere tausend Seiten umfasst.
Der Umgang ist leider etwas gewöhnungsbedürftig und ich lerne heute immer noch dazu. In den folgenden Abschnitten werde ich meine Einsichten die nicht in den gängigen Büchern stehen versuchen als eine Art lose Blatt Sammlung (Codex) zu dokumentieren.
Darstellung von Funktionen
Mathematica stellt umfassende Funktionen für die Darstellung von Funktionen zur Verfügung. Die zentrale Funktion ist die Plot[]-Funktion. Im nachfolgenden Bild, ist die Grundmenge Funktion und dann die zentralen Einstellungs-Möglichkeiten wie die Darstellung ergänzt werden kann dargestellt:
Wie man sieht, wird zwar den groben Funktion Verlauf, wichtige Eigenschaften sind aber nicht ersichtlich. Dazu muss man die Darstellung-Bereiche in x- und y-Richtung anpassen und weitere Möglichkeiten einsetzen, um mehr über den Funktionsgraph zu erfahren.
Mathematica stellt eine Vielzahl von Darstellung-Optionen bereit, die alle in der Online-Dokumentation aufgeführt sind.
Kurvendiskussion
Eine sehr häufig vorkommende Aufgabe ist die Untersuchung einer gegeben Funktion hinsichtlich Ihrer Eigenschaften wie Nullstellen, Extrema, Asymptoten etc. Wie das mit Hilfe von Mathematica gemacht werden kann, wird im folgenden vorgestellt.
Ausgangspunkt sei folgende Funktion und ihr Graph wie im nachfolgenden Bild dargestellt.
Bestimmung der Nullstellen
Um die Nullstellen zu bestimmen, sind die Punkte zu berechnen, an denen der Funktionswert von f(x) = 0 ist. Dazu gibt es zwei vordefinierte Funktionen in Mathematica: Solve und NSolve. NSolve versucht die Funktion mit hilfe numerischer Methoden zu lösen wo hingegen Solve versucht die Funktion aufzulösen, was natürlich mehr Rechenzeit erfordern kann und bisweilen auch nicht möglich ist.
NSolve[f[x] == 0] ==> {{x -> -3.24655}, {x -> 0.576888}, {x -> 2.66966}}
Die beiden Funktionen bestimmen sämtliche realen und komplexen Nullstellen eines Polynoms und geben das Ergebnis in Form einer Liste wieder. Also nicht in Form von Variablen denen die Werte bereits zugewiesen wurden. D.h. wir können auf diese Lösungen noch nicht ohne weitere Schritte zugreifen.
Bestimmung der 1. und 2. Ableitungen
Mathematica erlaubt es Ableitungen in Analogie zur händischen Form einfach durch Anfügen eines Ableitungsstrichs zu erzeugen. Formal richtig wäre aber die Benutzung der Funktion D[f[x], x].
f'[x] ==> -9 + 3 x^2 f''[x] ==> 6x
Mit diesen Vorarbeiten lässt sich die komplette Kurvendiskussion, d.h. die Bestimmung der Nullstelle und der Extremwerte mit wenigen Zeilen berechnen:
Lösungen = {x, f[x]} /. NSolve[f[x] == 0]
{{-3.24655,0.}, {0.576888, -8.88178*10^-16}, {2.66966, -3.55271*10^-15}}
Extrema = {x, f[x]} /. NSolve[f'[x] == 0]
{{-1.73205, 15.3923}, {1.73205, -5.3923}}
Plot[f[x], {x, -4, 4},
Epilog -> {{PointSize[0.02], Red, Map[Point, Lösungen],
PointSize[0.02], Magenta, Map[Point, Extrema]}}]
Anschliessend sorgt die Plot-Funktion für die visuelle Darstellung:
Darstellung von Funktionen
Hierbei ist es wichtig die Vielzahl der Optionen kennen zu lernen. Anbei eine kleine und wie ich finde nützliche Auswahl:
Plot[-2 + 5 x - 3 x^2 - x^3 + x^4, {x, -6., 6.}]
So sieht der von Mathematica vorgeschlagene Graph als Standard dargestellt. Da hier aber alle wesentlichen zur Kurvendiskussion erfoderlichen Bereiche nicht gut dargestellt sind, stellt sich die Frage wie man das verändern kann. Nachfolgend der gleiche Graph mit einigen Plot-Optionen und den zugehörigen Ableitungen:
Plot[{f[x], f'[x], f''[x]}, {x, -2.2, 2.2}, AspectRatio -> 1,
AxesLabel -> {"x", "Y"}, PlotLabel -> {"Funktion f und Ableitungen"},
PlotStyle -> {Black, Orange, LightGray},
PlotLegends -> {"f", "f'", "f''"}, GridLines -> Automatic]
